Решить 2 задания по математике

Приложения:

Ответы

Ответ дал: NNNLLL54

Ответ:

1) Ряд Маклорена для функции y = cosx .

$\bf cosx=1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\dfrac{x^6}{6!}+\, ...\, +(-1)^{n}\cdot \dfrac{x^{2n}}{(2n)!}+\, ...\ \ ,\ \ x\in (-\infty ;+\infty )$

Заменим в этой формуле х на х²/4 , получим

$\bf cos\dfrac{x^2}{4}=1-\dfrac{(x^2/4)^2}{2!}+\dfrac{(x^2/4)^4}{4!}-\dfrac{(x^2/4)^6}{6!}+\dfrac{(x^2/4)^{8}}{8!}+\, ...=\\\\\\=1-\dfrac{x^4}{4^2\cdot 2!}+\dfrac{x^8}{4^4\cdot 4!}-\dfrac{x^{12}}{4^6\cdot 6!}+\dfrac{x^{16}}{4^8\cdot 8!}+... \ \ \ ,\ \ \ x\in (-\infty ;+\infty )$

Вычислим интеграл .

$\bf \displaystyle \int\limits^1_0\Big(1-\dfrac{x^4}{4^2\cdot 2!}+\dfrac{x^8}{4^4\cdot 4!}-\dfrac{x^{12}}{4^6\cdot 6!}+\dfrac{x^{16}}{4^8\cdot 8!}+...\Big)\, dx=\\\\\\=\Big(x-\frac{x^5}{5\cdot 4^2\cdot 2!}+\frac{x^9}{9\cdot 4^4\cdot 4!}-\frac{x^{13}}{13\cdot 4^6\cdot 6!}+\frac{x^{17}}{17\cdot 4^8\cdot 8!} +\, ...\Big)\Big|_0^1=\\\\\\=1-\frac{1}{5\cdot 4^2\cdot 2!}+\frac{1}{9\cdot 4^4\cdot 4!}-\frac{1}{13\cdot 4^6\cdot 6!}+\frac{1}{17\cdot 4^8\cdot 8!}-\, ...\approx$

$\bf \displaystyle \approx 1-0,0063+0,00002-\, ...=1-0,0063=0,9937\approx 0,994$

Достаточно взять два слагаемых для подсчёта суммы с точностью до 0,001 , так как уже третье слагаемое по модулю меньше заданной точности , | 0,00002 | < 0,001 . Промежуточные вычисления проводим до 4-го знака (один запасной знак) после запятой , а ответ округляем до 3-го знака после запятой .

Ответ: 0,994 .

2) Найти интервал сходимости ряда $\bf \sum \limits _{n=1}^{\infty }\dfrac{n!\, x^{n}}{n^{n}}$ .

Применим признак Даламбера к ряду, составленному из абсолютных величин членов исходного ряда .

$\bf \lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{|u_{n+1}|}{|u_{n}|}=\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{(n+1)!\, |\, x\, |^{n+1}}{(n+1)^{n+1}}\cdot \dfrac{n^{n}}{n!\cdot |\, x\, |^{n}}=\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{(n+1)\cdot n^{n}\cdot |\, x\, |}{(n+1)\cdot (n+1)^{n}}=\\\\\\=\lim\limits_{n \to \infty}\Big(\dfrac{n}{n+1}\Big)^{n}\cdot |\, x\, |=\lim\limits_{n \to \infty}\Big(1+\dfrac{-1}{n+1}\Big)^{n}\cdot |\, x\, |=$

$\bf =\lim\limits_{n \to \infty}\Big(1+\dfrac{-1}{n+1}\Big)^{\frac{n+1}{-1}\cdot \frac{-n}{n+1}}\cdot |\, x\, |=e^{-1}\cdot |\, x\, |=\dfrac{|\, x\, |}{e}$