Ответы
Ответ:
Доказательство формулы произведения скалярных векторов a • b = |a| • |b| • cos(x) можно представить следующим образом:
Пусть у нас есть два вектора a и b. Мы хотим найти скалярное произведение (скалярное умножение) этих векторов, то есть a • b. Также у нас есть угол между этими векторами, который мы обозначим как x.
Теперь представим вектор a в виде проекции на вектор b и перпендикулярной к вектору b составляющей. Пусть проекция вектора a на вектор b равна |a| • cos(x), а перпендикулярная составляющая равна |a| • sin(x).
Теперь мы можем записать вектор a как сумму этих двух составляющих:
a = |a| • cos(x) • b + |a| • sin(x) • (перпендикулярная составляющая)
Теперь умножим полученное равенство на вектор b:
a • b = |a| • cos(x) • b • b + |a| • sin(x) • (перпендикулярная составляющая) • b
Заметим, что скалярное произведение вектора b на самого себя равно |b|², и что скалярное произведение вектора b на перпендикулярную составляющую равно нулю (поскольку они перпендикулярны).
Итак, у нас остается:
a • b = |a| • cos(x) • |b|²
Но |b|² это просто квадрат длины вектора b, то есть |b|² = |b| • |b|, поэтому:
a • b = |a| • cos(x) • |b| • |b|
Теперь, разделим обе стороны на |b| • |b|:
(a • b) / (|b| • |b|) = |a| • cos(x)
Итак, мы получили формулу для скалярного произведения:
a • b = |a| • |b| • cos(x)
Это и есть формула для произведения скалярных векторов.