В параллелограмме АВСК угол АВС=120°, биссектрисы угол КАВ и угол АВС пересекаются в точке М, причём ВМ=12см. Найдите стороны данного параллелограмма, если его периметр равен 114 см.

Так как биссектриса равна половине угла, то:

∠MBA = ∠CBM = 120°:2 = 60°

∠BAM = ∠MAK = 1/2 ∠A

Свойство: сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне равна 180°

Значит, ∠A = 180° - ∠B = 180° - 120° = 60°  ⇒  ∠BAM = ∠MAK = 1/2 * 60° = 30°.

Рассмотрим треугольник ABM. Мы не знаем его угол ∠BMA, поэтому найдём значение:

∠BMA = 180° - ∠MBA - ∠BAM = 180° - 60° - 30° = 90°

Из этого следует, что ΔABM - прямоугольный (∠BMA = 90°).

Теорема: Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

Из этого следует то, что сторона BM, лежащая против угла ∠BAM = 30°, равна 1/2 BA.

Найдём BA:

BA= BM * 2 = 12 * 2 = 24 см

Теперь найдём другую сторону параллелограмма, используя формулу периметра.

P параллелограмма = 2(a + b)

P ABCK = 2(AB + BC)

114 = 2(24 + BC)

114 = 48 + 2*BC

2*BC = 114 - 48

2*BC = 66

BC = 66/2

BC = 33 см

Так как ABCK - параллелограмм, то противоположные стороны равны.

Ответ: AB = CK = 24 см; BC = AK = 33см