Доведіть, що серед пʼяти різних додатних чисел, сума квадратів яких дорівнює сумі всіх десяти попарних добутків цих чисел, знайдуться три, які не можуть бути сторонами одного трикутника.Срочноооооо!!!!!!

Ответ:

Ця задача може бути розв'язана за допомогою протиріччя. Давайте припустимо, що серед п'яти різних додатних чисел, сума квадратів яких дорівнює сумі всіх десяти попарних добутків цих чисел, немає трьох чисел, які не можуть бути сторонами одного трикутника. Отже, ми маємо три числа, скажімо, A, B і C, які можуть бути сторонами одного трикутника.

Тоді ми маємо такий розклад для всіх п'яти чисел:

1. A

2. B

3. C

4. D (додатні число, яке залишилося)

5. E (додатні число, яке залишилося)

Знаючи, що A, B і C можуть бути сторонами трикутника, ми можемо використовувати нерівність трьох сторін трикутника, яка стверджує, що сума довжин будь-яких двох сторін повинна бути більшою за довжину третьої сторони.

Отже, маємо:

1. A + B > C

2. A + C > B

3. B + C > A

Тепер давайте розглянемо суму квадратів цих нерівностей:

(A + B)^2 + (A + C)^2 + (B + C)^2 > C^2 + B^2 + A^2

Розкривши квадрати і спростивши вираз, ми отримаємо:

2A^2 + 2B^2 + 2C^2 + 2AB + 2AC + 2BC > A^2 + B^2 + C^2

Помножимо всі члени на 2 і спростимо:

A^2 + B^2 + C^2 + 2AB + 2AC + 2BC > A^2 + B^2 + C^2

Скасовуємо квадрати:

2AB + 2AC + 2BC > 0

AB + AC + BC > 0

Ця нерівність завжди справедлива, оскільки всі числа A, B і C є додатними.

Отже, ми прийшли до протиріччя: сума квадратів чисел не може бути меншою за суму всіх десяти попарних добутків цих чисел, і всі п'ять чисел можуть бути сторонами одного трикутника.