5. Даны вектор p(- 3; 4), d(2; 2) и q(8;a). Найдите:
а) косинус между векторами p и d
b) число а, если векторы d и q коллинеарны;
с) число а, если векторы p и q перпендикулярны.

Ответ:

а) Косинус между векторами p и d можно найти с помощью формулы косинуса угла между векторами: cos(θ) = (p · d) / (|p| |d|), где p · d - скалярное произведение векторов, |p| и |d| - длины векторов p и d соответственно. Расчеты показывают, что косинус между векторами p и d равен 0.4.

b) Для того чтобы векторы d и q были коллинеарны, они должны быть параллельны и иметь одинаковые направления. Так как d(2; 2) и q(8; a), чтобы они были коллинеарны, координаты x и y должны пропорционально совпадать, то есть уравнения 2/8 = 2/a. Решением уравнения является a = 4.

с) Для того чтобы векторы p и q были перпендикулярны, их скалярное произведение должно быть равно нулю: p · q = (-3 * 8) + (4 * a) = 0. Решая это уравнение, получаем a = 6.