Предмет: Математика
Автор: rubinvrubn
Вопрос задан 1 год назад

< >

Помогите решить задачу:
sin³x + cos³x = ?
если sinx + cosx = A

Ответы

Ответ дал: Artem112

1

Ответ:

$\sin^3x + \cos^3x=\dfrac{3A-A^3}{2}$

Решение:

Преобразуем искомое выражение, пользуясь формулой суммы кубов:

$\sin^3x + \cos^3x=(\sin x+\cos x)(\sin^2x+\cos^2x-\sin x\cos x)$

Сумма синуса и косинуса известна по условию, сумма их квадратов равна 1 в силу основного тригонометрического тождества. Остается найти произведение синуса и косинуса. Рассмотрим известное соотношение:

$\sin x + \cos x = A$

Возведем в квадрат:

$(\sin x + \cos x)^2 = A^2$

$\sin^2x + \cos^2x+2\sin x\cos x = A^2$

Используем основное тригонометрическое тождество:

$1+2\sin x\cos x = A^2$

$2\sin x\cos x = A^2-1$

$\sin x\cos x = \dfrac{A^2-1}{2}$

Возвращаемся к искомой сумме и получим:

$\sin^3x + \cos^3x=(\sin x+\cos x)(\sin^2x+\cos^2x-\sin x\cos x)=$

$=(\sin x+\cos x)(1-\sin x\cos x)=A\cdot \left(1- \dfrac{A^2-1}{2}\right)=$

$=A\cdot \dfrac{2-A^2+1}{2}=A\cdot \dfrac{3-A^2}{2}=\boxed{\dfrac{3A-A^3}{2}}$

Похожие вопросы

Геометрия

1 год назад

a=4 b=6 c=9 геометрия

Українська література

1 год назад

1. Нерозривний зв'язок автора з рідним краєм Гуцульщиною є характернс рисою творчості: А. Анатолія Мойсієнка. Б. Василя Герасим'юка. В. Івана Малковича. Г. Ігоря Павлюка. 2. Заснував видавництво

Математика

1 год назад

688. 1) 3,3a + (a - 4); 2) 5a (0,7a + 8); 689. 1) 3(x – 7)+5x; - 2) 5(43x) + 8x; 3) 5,36 (2b + 3); 4) 9,6b+ (7 - 0,4b); . 3) (y 4) 2 + 10y; 4) (2y + 5) 4 - 11y; - 5) 2c (95,1c); 6) –5c + (13 – 6c).

История

1 год назад

5. Обговоріть у парах. Який храм був головною окрасою Києва? Наведіть аргументи.

Английский язык

2 года назад

Rewrite the sentences with the same meaning using the words in bold. Example :People say thet he is 100years old. said It is said that he is 100 years old. believe He is believed to be 100 years

Українська література

2 года назад

Помогите пожалуйста! Художні засоби твору "Дорогою ціною"!!

Математика

8 лет назад

Выразите в более мелких единицах:75т,87ц,43кг,32м,26дм,15см,3ч,5сут,7мин.б)в более крупных единицах измерения:600кг,2000г,30ц,200мл,50дм,600см,360мин,1200с,96ч. Кто сделает сразу даю 30 баллов И

Химия

8 лет назад

Яку масу калій сульфату можна добути під час взаємодії сульфатної кислоти з калій гідроксидом масою 22.4