Доказать, что из всех прямоугольников, вписанных в данный круг радиусом R, наибольшую площадь имеет квадрат.
Ответы
Ответ дал:
0
Пишем функцию площади от длины стороны прямоугольника:
![S(x)=xcdot y\
x^2+y^2=(2R)^2 =>y=sqrt{4R^2-x^2} \
S(x)=xsqrt{4R^2-x^2}](https://tex.z-dn.net/?f=S%28x%29%3Dxcdot+y%5C%0Ax%5E2%2By%5E2%3D%282R%29%5E2++++%3D%26gt%3By%3Dsqrt%7B4R%5E2-x%5E2%7D+%5C%0AS%28x%29%3Dxsqrt%7B4R%5E2-x%5E2%7D "S(x)=xcdot y\
x^2+y^2=(2R)^2 =>y=sqrt{4R^2-x^2} \
S(x)=xsqrt{4R^2-x^2}")
Находим экстремум:
![S'(x)=sqrt{4R^2-x^2}-frac{x^2}{sqrt{4R^2-x^2}}=frac{4R^2-2x^2}{sqrt{4R^2-x^2}}\
S'(x)>0 <=> 2R^2>x^2 <=> x in(-sqrt{2}R,sqrt{2}R)](https://tex.z-dn.net/?f=S%27%28x%29%3Dsqrt%7B4R%5E2-x%5E2%7D-frac%7Bx%5E2%7D%7Bsqrt%7B4R%5E2-x%5E2%7D%7D%3Dfrac%7B4R%5E2-2x%5E2%7D%7Bsqrt%7B4R%5E2-x%5E2%7D%7D%5C%0AS%27%28x%29%26gt%3B0++++%26lt%3B%3D%26gt%3B++++2R%5E2%26gt%3Bx%5E2++++%26lt%3B%3D%26gt%3B++++x+in%28-sqrt%7B2%7DR%2Csqrt%7B2%7DR%29 "S'(x)=sqrt{4R^2-x^2}-frac{x^2}{sqrt{4R^2-x^2}}=frac{4R^2-2x^2}{sqrt{4R^2-x^2}}\
S'(x)>0 <=> 2R^2>x^2 <=> x in(-sqrt{2}R,sqrt{2}R)")
Так, как
это длина стороны он не может получать отрицательные значения, следовательно экстремум всего один 
Находим
(хотя одного отношения радиуса к стороне достаточно, чтоб сказать что фигура - квадрат):
![y=sqrt{4R^2-x^2} : x=sqrt{2}R => y=sqrt{4R^2-2R^2}=sqrt{2}R \
x=y](https://tex.z-dn.net/?f=y%3Dsqrt%7B4R%5E2-x%5E2%7D++%3A++x%3Dsqrt%7B2%7DR+++%3D%26gt%3B++++y%3Dsqrt%7B4R%5E2-2R%5E2%7D%3Dsqrt%7B2%7DR++%5C%0Ax%3Dy "y=sqrt{4R^2-x^2} : x=sqrt{2}R => y=sqrt{4R^2-2R^2}=sqrt{2}R \
x=y")
Что и требовалось доказать.
Находим экстремум:
Так, как
Находим
Что и требовалось доказать.
Ответ дал:
0
Уточняю на всякий случай: диагональ вписанного прямоугольника равна диаметру.
Похожие вопросы
2 года назад
7 лет назад
7 лет назад
10 лет назад
10 лет назад