Предмет: Математика
Автор: Аноним
Вопрос задан 10 лет назад

Найдите сумму 1^2x+2^2x^2.........+n^2*x^n всего n членов

Ответы

Ответ дал: Матов

$x+4x^2+9x^3+16x^4+25x^5+36x^6+.....+n^2*x^n=\\$
Преобразуем $x(1 + 4x + frac{3^3x^2}{3} + frac{4^4x^3}{4^2} + frac{5^5x^4}{5^3}+...frac{n^n*x^{n-1}}{n^{n-2}})$
Рассмотрим ряда суммы ,если взять интеграл от исходной суммы , то есть по частям
$intlimits (1 + 4x + frac{3^3x^2}{3} + frac{4^4x^3}{4^2} + frac{5^5x^4}{5^3}+...frac{n^n*x^{n-1}}{n^{n-2}}$ $= x + 2x^2 + 3x^3 + 4x^4 + 5x^5$
отсюда можно еще преобразовать $x(1+2x+3x^2+4x^3+5x^4+6x^5+...+...n*x^{n-1})$ заметим что в скобках есть производная суммы так как
$x^n'=n*x^{n-1}$ получим геометрическую прогрессию
$x+x^2+x^3+x^4+.....+x^5=frac{x(x^n-1)}{x-1}$ , найдем производную и умножим на $x$ , в итоге получим
$frac{x^{n+1}*(nx-n-1)+x}{(x-1)^2}$ , так как мы проинтегрировали сумму , то надо найти вторую производную :
$frac{x^n(n^2x^2-2n^2x-2nx+x+n^2+2n+1)-x-1}{(x-1)^3}$
и умножим на 2 в итоге получим формулу выражающую сумму
$2*frac{x^n(n^2x^2-2n^2x-2nx+x+(n+1)^2)-x-1}{(x-1)^3}$
Проверяя все подходит

Ответ дал: Аноним

да спасибо я уже догадался но я не использовал интеграл а только производную и решил короче

Похожие вопросы

Русский язык

2 года назад

Словосочетание со словом гранат

Русский язык

2 года назад

Составить текст 6-7 предложений,тип речи повествовательный.

Физика

7 лет назад

ныряльщик опускается на глубину 100 м во сколько раз давление по сравнению с атмосферным давлением он испытывает