Радиус описанной около равностороннего треугольника окружности равен 8 см. Найдите периметр этого треугольника и радиус вписанной окружности.

Известны соотношения между радиусом вписанной окружности r, радиусом описанной окружности R и стороной правильного треугольника а:

r = 0.5R = 0.5·8 = 4(cм)

а = R·√3 = 8√3(cм)

Ну, можно просто теорему синусов вспомнить. Но проще заметить ,что у правильного треугольника центры вписанной и описанной окружности совпадают с точкой пересечения медиан-биссектрис-высот, при этом часть медиаы-высоты-биссектрисы от центра до вершины (то есть 2/3 высоты) - это радиус описанной окружности, а часть от центра до стороны (1/3 высоты) - это радиус вписанной окружности.

Отсюда радиус вписанной окружности r = R/2 = 4.

Сторона связана с высотой соотношением h = a*корень(3)/2, при этом, как  я уже упоминал, R = h*2/3, отсюда a = 8*корень(3), периметр 24*корень(3).