В треугольнике АВС угол В=60,ВМ-биссектриса треугольника. На стороне ВС взята точка К так, что угол ВАК = углу АМВ.Отрезки АК и ВМ пересекаются в точке О. Найдите площадь треугольника АМО, если ВО=1, ОМ=8.

Очень много лишнего в условии. Зачем эти "биссектрисы"...
∠ABM = 30°; 
Треугольники ABO и ABM подобны по двум углам. Поэтому
AO/AB = AM/BM; и AO/BO = AM/AB; 
Из первого AO = AB*AM/9; из второго AO = AM/AB; (BO = 1);
Отсюда AB^2 = 9; AB = 3; 
Площадь AOB = AB*BO*sin(30°)/2 = 3/4;
Площадь AOM в 8 раз больше, так как MO/BO = 8;
Ответ 6.