при каком значении а система неравенств имеет решение 
x^2-11x+32>=0
x^2+4x+a<0

мне нравится такое решение:
первое неравенство выполняется при х∈(-oo;3]U[8;+oo)
Чтобы система имела решения необходимо: чтобы второе неравенство имело решения, это будет когда D≥0 и меньший корень уравнения x^2+4x+a=0 был меньше 3 или больший корень был больше 8
D=16-4a≥0, a≤4
корни уравнения x^2+4x+a=0
х1=-2-√(4-а)-меньший , х2=-2+√(4-а)- больший
Найдем когда меньший корень меньше 3
-2-√(4-а)<3
√(4-а)>-5
что выполняется всегда на ОДЗ, то есть при любом а из ОДЗ меньший корень будет меньше 3, а следовательно и система будет иметь решения.
Ответ: a≤4

в данном случае дискриминант не может равняться нулю, так как парабола будет иметь только одну точку пересечения с осью икс и второе неравенство решений иметь не будет

ошибся так как искал корни по т виета и почему то быстро прикинул что это числа 8 и 3, не обратив внимание на то что в произведении будет не 32 а 24