Симметричным трехзначным числом будем считать число, запись которого имеет ровно три значащих цифры,и первая цифра совпадает с последней. Определите минимальное основание системы счисления, в которой можно записать не менее 200 трехзначных чисел, не являющихся симметричными. В ответе укажите целое число.
Ответы
Ответ дал:
0
Трехзначное число в системе счисления по основанию p может быть записано, как ![N_{(p)}=n_2times p^2+n_1times p^1+n_0times p^0; \ N_{(p)}=n_2times p^2+n_1times p+n_0, begin {cases} p in mathbb Z, {n_2,n_1,n_0} in mathbb Z \ n_2 in [1;p-1], {n_1,n_0} in [0;p-1] \ n_2 ne n_0 end {cases}](https://tex.z-dn.net/?f=N_%7B%28p%29%7D%3Dn_2times+p%5E2%2Bn_1times+p%5E1%2Bn_0times+p%5E0%3B+%5C+N_%7B%28p%29%7D%3Dn_2times+p%5E2%2Bn_1times+p%2Bn_0%2C++begin+%7Bcases%7D+p+in+mathbb+Z%2C+%7Bn_2%2Cn_1%2Cn_0%7D+in+mathbb+Z+%5C+n_2+in+%5B1%3Bp-1%5D%2C++%7Bn_1%2Cn_0%7D+in+%5B0%3Bp-1%5D+%5C+n_2+ne+n_0+end+%7Bcases%7D "N_{(p)}=n_2times p^2+n_1times p^1+n_0times p^0; \ N_{(p)}=n_2times p^2+n_1times p+n_0, begin {cases} p in mathbb Z, {n_2,n_1,n_0} in mathbb Z \ n_2 in [1;p-1], {n_1,n_0} in [0;p-1] \ n_2 ne n_0 end {cases}")
Разница между максимальным и минимальным трехзначными числами должна превышать десятичное число 200 (пока не будем учитывать дополнительное ограничение на несимметричность), т.е.
![big((p-1)times p^2+(p-1)times p+(p-1)big)-big((p^2+0times p^1+0)big)>200; \ (p^3-p^2+p^2-p+p-1)-p^2>200; p^3-1>200 to p> sqrt[3]{200}](https://tex.z-dn.net/?f=big%28%28p-1%29times+p%5E2%2B%28p-1%29times+p%2B%28p-1%29big%29-big%28%28p%5E2%2B0times+p%5E1%2B0%29big%29%26gt%3B200%3B+%5C+%28p%5E3-p%5E2%2Bp%5E2-p%2Bp-1%29-p%5E2%26gt%3B200%3B++p%5E3-1%26gt%3B200+to+p%26gt%3B+sqrt%5B3%5D%7B200%7D+ "big((p-1)times p^2+(p-1)times p+(p-1)big)-big((p^2+0times p^1+0)big)>200; \ (p^3-p^2+p^2-p+p-1)-p^2>200; p^3-1>200 to p> sqrt[3]{200}")
В целых числах получаем условие p≥6, т.е. основание системы счисления не может быть меньше 6.
Найдем, сколько трехзначных чисел можно получить в системе счисления с основанием 6:
Симметричными будут числа вида 5х5, 4х4, 3х3, 2х2, 1х1, где х - любая из цифр по основанию 6. Итого получается пять групп, в каждой из которых шесть чисел, т.е. всего трехзначных симметричных чисел может быть 30. Следовательно, в системе счисления по основанию 6 можно записать 215-30=185 трехзначных несимметричных чисел, что меньше ограничения 200.
Проверим систему счисления по основанию 7:
Симметричными будут числа вида 6х6, 5х5, 4х4, 3х3, 2х2, 1х1, где х - любая из цифр по основанию 7. Итого получается шесть групп, в каждой из которых семь чисел, т.е. всего трехзначных симметричных чисел может быть 42. Следовательно, в системе счисления по основанию 7 можно записать 342-42=300 трехзначных несимметричных чисел, что превышает ограничение 200.
Ответ: 7
Разница между максимальным и минимальным трехзначными числами должна превышать десятичное число 200 (пока не будем учитывать дополнительное ограничение на несимметричность), т.е.
В целых числах получаем условие p≥6, т.е. основание системы счисления не может быть меньше 6.
Найдем, сколько трехзначных чисел можно получить в системе счисления с основанием 6:
Симметричными будут числа вида 5х5, 4х4, 3х3, 2х2, 1х1, где х - любая из цифр по основанию 6. Итого получается пять групп, в каждой из которых шесть чисел, т.е. всего трехзначных симметричных чисел может быть 30. Следовательно, в системе счисления по основанию 6 можно записать 215-30=185 трехзначных несимметричных чисел, что меньше ограничения 200.
Проверим систему счисления по основанию 7:
Симметричными будут числа вида 6х6, 5х5, 4х4, 3х3, 2х2, 1х1, где х - любая из цифр по основанию 7. Итого получается шесть групп, в каждой из которых семь чисел, т.е. всего трехзначных симметричных чисел может быть 42. Следовательно, в системе счисления по основанию 7 можно записать 342-42=300 трехзначных несимметричных чисел, что превышает ограничение 200.
Ответ: 7
Похожие вопросы
2 года назад
2 года назад
7 лет назад
10 лет назад
10 лет назад