как доказать, что площади подобных треугольников равны коэффициенту подобия в квадрате?

легко. площадь треугольника равна (a*b*sinC)/2. коэфициент подобия к. тогда: рассмотрим  2 подобных треугольника: первый со сторонами х и у тогда его площадь s1=(ху*sinC)/2, по формуле, а у второго треугольника по подобию стороны равны к*х и к*у, поскольку углы у подобных треугольников одинаковы, а поэтому синусы тоже, то площадь s2=(k*x*k*y*sinC)/2 опять-таки по формуле, теперь узнаём соотношение s1/s2=(k*x*k*y)/xy(двойки и синусы самосократились) и получаем k к в квадрате