В правильный многоугольник со стороной 8 корней из 3  вписана окружность радиуса 12 см.Найти количество сторон этого многоугольника и длину описанной около него окружности

Центр вписанной в угол окружности лежит на биссектрисе. Окружности, вписанной в правильный многоугольник - в точке пересечения  биссектрис его углов. 

На рисунке приложения АВ - сторона, АО=ВО - биссектрисы углов правильного многоугольника. ОН - радиус вписанной окружности,

tg∠ОВН=ОН:ВН=√3. ⇒ Угол ОВН=60°, угол многоугольника 120°, смежный с ним внешний угол равен 60°.

Сумма внешних углов многоугольника 360°. Количество внешних углов, взятых по одному при вершинах, равно числу сторон многоугольника. 

Число сторон 360°:60°=6.

Радиус описанной около правильного  шестиугольника окружности равен его стороне. 

R=8√3

C=2πR=16√3π