На 23 карточках написаны числа 1, 2, 3, …, 23 (каждое на одной карточке). Можно ли эти карточки разложить на две кучки так, чтобы сумма чисел на карточках в одной из кучек превосходила сумму чисел на карточках в другой кучке ровно на 23?

Можно.
Разложим в две кучки так:
1+22          15+8
21+2          9+14
3+20          13+10
19+4          11+12
5+18          
17+6          
7+16        

И в одну из них добавим карточку 23.
Получится в одной кучке 23*11, а в другой 23*11+23

23*11+23-23*11=23