докажите, что середины сторон любого выпуклого четырехугольника являются вершинами параллелограмма

Проводишь одну из диагоналей четырёхугольника. Далее рассматриваешь два треугольника, расположенные друг против друга, у которых общая сторона является эта диагональ. 
У них есть средние линии. Значит они равны половине длины диагонали четырёхугольника и параллельны ей, следовательно средние линии равны и параллельны друг другу. Значит образовавшийся четырёхугольник - параллелограмм