В равнобедренный треугольник ABC c основанием BC вписана окружность. Она касается стороны AB в точке М. Найдите радиус этой окружности, если AM=10 и BM=15.

Проведем из т.А высоту АА1 к стороне ВС. Т.к. треугольник равнобедренный, она является биссектрисой, значит центр окружности О лежит на ней.

По теореме о свойствах касательных, проведенных из одной точки, ВА1=ВМ=15

АВ=АМ+МВ=10+15=25

По теореме Пифагора АА1^2=AB^2-BА1^2=25^2-15^2=625-225=400

АА1=20 

Треугольники АМО и АА1В подобны по 2-м равным углам (угол А общий, угол АМО=АА1В=90). Тогда ОМ:ВА1=АМ:АА1

ОМ:15=10:20

ОМ=7,5=r