Предмет: Алгебра
Автор: Змей24
Вопрос задан 2 года назад

$\left \{ {{y - log_{3}x =1} \atop {x^{y} =3^{12}}} \right.$

Ответы

Ответ дал: Матов

Выразим с первого
y=1+log(3)x
Со второго
y=log(x)3^12

Приравнивая обе части
1+log(3)x=log(x)3^12
1+log(3)x=12/log(3)x
Заменяя log(3)x=a
1+a=12/a
a+a^2-12=0
a=3 , a=-4
Откуда
x=27 , x=1/81
y=4 , y=-3

Ответ (x,y)=(27,4) и (1/81,-3)

Змей24: Ответ правильный, но откуда log(x)3^12=12/log(3)x я все равно не понимаю...

Матов: С начало по свойству log(a)b^n = n*log(a)b потом по другому свойству log(a)b = 1/log(b)a

Змей24: Спасибо за объяснения. Теперь вижу!

Ответ дал: skvrttt

$\left\{{{y-\log_3x=1}\atop{x^y=3^{12}}}\right\to\left\{{{y=\log_3x+1}\atop{y=\log_x(3^{12})}}\right\to\left\{{{y=\log_3x+1}\atop{y=12\log_x3}}\right\to\left\{{{y=\log_3x+1}\atop{y=\frac{12}{\log_3x}}}\right$

приравниваем оба уравнения системы:
$\log_3x+1=\frac{12}{\log_3x}$

решаем данное уравнение:
$\log_3x+1-\frac{12}{\log_3x}=0;\frac{\log_3^2x+\log_3x-12}{\log_3x}=0;\frac{(\log_3x+4)(\log_3x-3)}{\log_3x}=0;\\\frac{(\log_3x+\log_381)(\log_3x-\log_327)}{\log_3x}=0;\frac{(x+81)(x-27)}{x-1}=0\to\left[\begin{array}{ccc}x_1=-81\\x_2=27\end{array}\right$

первый икс отбрасываем, ибо он не включён в ОДЗ логарифма, гласящее, что икс – строго положительное число; теперь ищем игрек:
$y=\log_3x+1=\log_327+1=4$

ответ: $(27;4)$