Предмет: Алгебра
Автор: GodlikeMachine
Вопрос задан 7 лет назад

< >

Найти наибольшее значение параметра 'a', при котором уравнение:
x^2-5x+6+sqrt(ax-2a)*(x-3)-6ax+18a=0 имеет единственное решение.

Приложения:

Ответы

Ответ дал: Correlation

$x^2-5x+6+sqrt{ax-2a}(x-3)-6ax+18a=0\ (x-2)(x-3)+(x-3)sqrt{a(x-2)}-6a(x-3)=0\ (x-3)(x-2+sqrt{a(x-2)}-6a)=0$

$x_1=3;~~~ a(x-2)geq 0~~~~where~~~ ageq0$

Если х =3 , то, подставляя в уравнение, получим a = 1/4

$x-2+sqrt{a(x-2)}-6a=0$ - квадратное уравнение относительно $sqrt{x-2}$

$D=(sqrt{a})^2-4cdot (-6a)=25ageq 0\ \ sqrt{x-2}=dfrac{sqrt{a}pm5sqrt{a}}{2}=left[begin{array}{ccc}-2sqrt{a}\ 3sqrt{a}end{array}right$

Уравнение $sqrt{x-2}=-2sqrt{a}$ решений не имеет для $ageq 0$

$sqrt{x-2}=3sqrt{a}~~~Rightarrow~~~ x-2=9a~~~Rightarrow~~~ x_2=9a+2$

$displaystyle left { {{a<0} atop {9a+2leq 2}} right. ~~~Rightarrow~~~~a <0$

При $a in (-infty ;0)cup{frac{1}{4}}$ уравнение имеет единственное решение. Наибольшее a = 1/4

Ответ дал: valenivan

Смотрите, автору все равно, сама хочу разобраться. Но вижу, что два разных ответа, у вас и ниже. И между вами нет дискуссии. У меня пока выходит наибольшее а =1/4, х=3. Когда я записала уравнение (ваша третья строчка), то рассуждала так 0*0=0, х-3=0, х=3, подставила во вторую строчку и получила а=1/4. Так как вопрос "наибольшее", то рассматривать случай когда х=/3 и а=0, а<0 нет смысла, так как уже а=1/4>0. Теперь нужно бы рассмотреть случай когда а>0. Здесь остановилась. Ваше мнение?

Ответ дал: Correlation

я же написал что если а>0 и х≥2 то корнем является х=3. Тогда квадратное уравнение относительно √(x-2) должно быть решений не имеет или корни не удовлетворяют ОДЗ. Далее предположим что х= 3 не является корнем уравнения. Тогда остается лишь решить тот квадратное уравнение

Ответ дал: Correlation

но для a>0 уравнение имеет 2 корня

Ответ дал: Correlation

Неверно, выразился. При a < 0 и a = 1/4 уравнение имеет единственное решение

Ответ дал: valenivan

Да, спасибо. Т.е. наибольшее а=1/4 и будет ответом получается.

Ответ дал: baha20191

Ответ:

Объяснение:

вынесем за скобки общие множители

x²-5x+6+[√(a(x-2))](x=3)-6a(x-3)=0 (1)

x²-5x+6 разложим на множители

х₁=-2;x=3 нашел подбором с использованием теоремы Виета

1. при а=0 выражение (1) принимает вид x²-5x+6=0 и имеет два решения

по формуле ax²+bx+c=a(x-x₁)(x-x₂)

x²-5x+6=(x+2)(x-3) подставим в (1)

(x+2)(x-3)+[√(a(x-2))](x=3)-6a(x-3)=0 вынесем за скобки общий множитель

(x-3)(x+2)+[√(a(x-2))]-6a)=0 это выражение имеет решение х=3

очевидно что, чтобы выражение (1) имело единственное решение выражение x+2+[√(a(x-2))]-6a=0 (2) не должно иметь решений

преобразуем выражение (2)

√(a(x-2))=-х+(6a-2) решим это уравнение графическим способом

у=√(a(x-2))

у=-х+(6a-2)

чтобы уравнение (2) не имело решений надо найти такое а при котором графики указанных выше функций не пересекались

выясним взаимное расположение графиков в зависимости от параметра а

2. При а>0

графиком у=√(a(x-2)) является кривая линия получающаяся из линии у=√х c помощью переноса вдоль оси ОХ на 2 единицы вправо и сжатием - растяжением вдоль оси ОХ в зависимости от значения а

крайняя левая по оси ОХ точка кривой (2;0) , ветка кривой направлена вправо .

так как a>0 (6a-2)>-2

2.1. при (6a-2)=2 прямая у=-х+(6a-2) имеет вид у=-х+2 и проходит через точку (2;0) и графики пересекаются в этой точке, при этом (2) имеет одно решение

2.2 при 6a-2>2 прямая у=-х+(6a-2) находится выше прямой у=-х+2 и и графики пересекаются в двух точках при этом (2) имеет 2 решения

2.3 при 6a-2<2 прямая у=-х+(6a-2) находится ниже прямой у=-х+2 и и графики не пересекаются (2) не имеет решений

при этом

6a-2<2 ; 6a<4; a<4/6; a<2/3 с учетом того что мы рассматриваем a>0

0<a<2/3

3. При а<0

крайняя правая относительно оси ОХ точка кривой (2;0) , ветка кривой направлена влево .

так как a<0 то (6a-2)<-2

так как (6a-2)<-2

прямая у=-х+(6a-2) в этом случае находится ниже прямой у=-х-2

которая имеет с графиком кривой общую точку и тоже имеет с графиком кривой общую точку

в этом случае (2) имеет решение