• Предмет: Математика
  • Автор: yopa12
  • Вопрос задан 1 год назад
< >

Вычислить \lim_{n\to \infty} \left( cos(1/n)-sin(1/n) \right) ^n

Ответы

Ответ дал: MrSolution
0

Ответ:

(см. объяснение)

Пошаговое объяснение:

Шаг 1 (стандартный для таких пределов переход):

\lim\limits_{n\to\infty}\left(\cos\dfrac{1}{n}-\sin\dfrac{1}{n}\right)^n=e^{\lim\limits_{n\to\infty}n\ln\left(\cos\frac{1}{n}-\sin\frac{1}{n}\right)}

Теперь будем вычислять предел:

\lim\limits_{n\to\infty}n\ln\left(\cos\dfrac{1}{n}-\sin\dfrac{1}{n}\right)

Шаг 2 (вспоминаем про цепочку эквивалентности, а именно \ln\left(1+x\right)\sim x,\;x\to0):

\lim\limits_{n\to\infty}n\ln\left(1+\left(\cos\dfrac{1}{n}-\sin\dfrac{1}{n}-1\right)\right)=\lim\limits_{n\to\infty}n\left(\cos\dfrac{1}{n}-\sin\dfrac{1}{n}-1\right)

Шаг 3 (вычисляем предел из шага 2):

\lim\limits_{n\to\infty}n\left(\cos\dfrac{1}{n}-\sin\dfrac{1}{n}-1\right)=-\lim\limits_{n\to\infty}\left(n\left(1-\cos\dfrac{1}{n}\right)\right)-\lim\limits_{n\to\infty}\left(n\cdot\dfrac{1}{n}\right)=\\=-\lim\limits_{n\to\infty}\left(n\cdot\dfrac{1}{2n^2}\right)-1=-1

Шаг 4 (записываем ответ):

\lim\limits_{n\to\infty}\left(\cos\dfrac{1}{n}-\sin\dfrac{1}{n}\right)^n=\dfrac{1}{e}

Задание выполнено!

Похожие вопросы
Українська мова
1 год назад
Помогите написать будова слова пообіцяла,дотримала
Биология
1 год назад
Поместите два зелёных побега разных расте- ний в стеклянный сосуд с водой, сверху залейте небольшим количеством масла. Отметьте уро- вень воды. Обратите внимание, на сколько уро- вень воды в
Право
1 год назад
Какие теории государства и прова похожи между собой
Українська мова
1 год назад
там правда мовчить де сила панує синтаксичний розбір складного речення
Математика
2 года назад
в круге проведены две параллельные хорды по 8 см каждая. Расстояние между хордами 6 см. Найдите площадь этого круга.
Физика
2 года назад
Между двумя маленькими шариками, соединенными нитью зажата пружина. Шарики находятся внутри гладкого горизонтального желоба, имеющего форму окружности раднуса 16 см. После пережигания нити шарики
Математика
8 лет назад
помогите пожалуйста:)
Химия
8 лет назад
Кремний проявляет степень окисления -4 в веществе,формула которого: 1)SiCl4 2)SiO2 3)Na2SiO3 4)SiH4