Сумма площадей всех треугольников, вершины которых также являются вершинами куба 1x 1 x1, равна , где m, n и p — целые числа. Найдите m+n+p

Мы можем получить три возможных типа треугольников

Чтобы получить первый тип, мы можем просто выбрать грань, а таких треугольников четыре, поэтому существует способов получить этот треугольник, площадь которого составляет . Чтобы получить второй тип, мы берем обе точки на одном из двенадцати ребер, а затем выбираем одну из двух вершин, которые отличаются по высоте, что дает снова способов получить этот треугольник, площадь которого составляет . Наконец, чтобы получить третий тип, должно быть таких треугольников, имеющих площадь . Значит