Предмет: Алгебра
Автор: Xonda7777
Вопрос задан 1 год назад

Вычислить несобственный интеграл или доказать рассходимость.

Приложения:

Xonda7777: Не понимаю пожалуйста хотя бы с одним

ВикаБач: ??? Если не понимаешь, что такое подстановка, брось это дело, оно тебе не нужно.

Xonda7777: Пойти и сказать это преподу?

ВикаБач: Ну... сначала прочитать букварь, и если всё равно непонятно, что такое подстановка, пойти и сказать преподу, чтобы еще раз объяснил(а).

Xonda7777: А обязательно прочитать букварь?

Xonda7777: Мне понятно слово подстановка но как это сделать по математически не понятно

ВикаБач: В математике есть объект "подстановка", если ты о нём, то это совсем не то. Здесь "подстановка" это "замена переменной", сленг такой для сокращения речи... И ещё, для школы это сложновато, спецкласс какой-то или институт(техникум)?

Xonda7777: Институт

ВикаБач: Просмотри какой-нибудь учебник или, лучше, р е ш е б н и к, там всё очень просто.

Xonda7777: Ок

Ответы

Ответ дал: NNNLLL54

Ответ:

1) Несобственный интеграл 1 рода .

$\bf \displaystyle \int\limits_{1}^{\infty }\, \frac{dx}{x\, (ln^2x+4)}=\lim\limits_{A \to +\infty}\, \int\limits_{1}^{A}\, \frac{dx}{x\, (ln^2x+4)}=Q$

Вычислим сначала неопределённый интеграл, найдём первообразную методом замены переменной .

$\bf \displaystyle \star \ \ \int \frac{dx}{x\, (ln^2x+4)}=\Big[\ t=lnx\ ,\ dt=\frac{dx}{x}\ \Big]=\int \frac{dt}{t^2+4}=\\\\\\=\frac{1}{2}\cdot arctg\frac{t}{2}+C=\frac{1}{2}\cdot arctg\, \frac{lnx}{2}+C\ \ \star$

$\bf \displaystyle Q=\lim\limits_{A \to +\infty}\Big(\frac{1}{2}\cdot arctg\, \frac{lnx}{2}\Big)\Big|_1^{A}=\lim\limits_{A \to +\infty}\Big(\frac{1}{2}\cdot arctg\frac{lnA}{2}-\frac{1}{2}\cdot arctg\, 0\Big)=\\\\\\=\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{4}$

Так как получили в результате константу, то несобственный интеграл сходится .

2) Несобственный интеграл 2 рода . Первообразную находим способом подстановки .

$\bf \displaystyle \int \frac{sin2x}{\sqrt[5]{\bf 1-sin^2x}}\, dx=\Big[\ t=1-sin^2x\ ,\ dt=-2\, sinx\cdot cosx\, dx=-sin2x\, dx\ \Big]=\\\\\\=-\int \frac{dt}{\sqrt[5]{\bf t}}=-\int \, t^{-\frac{1}{5}}\, dt=-\frac{5\, t^{\frac{4}{5}}}{4}+C=-\frac{5}{4}\cdot \sqrt[5]{\bf t^4}+C=\\\\\\=-\frac{5}{4}\cdot \sqrt[5]{\bf (1-sin^2x)^4}+C$

$\bf \displaystyle \int \limits _0^{\frac{\pi }{2}}\frac{sin2x}{\sqrt[5]{\bf 1-sin^2x}}\, dx=\lim\limits _{b\to \frac{\pi }{2}-0}\, \int \limits _0^{b}\frac{sin2x}{\sqrt[5]{\bf 1-sin^2x}}\, dx=\\\\\\=\lim\limits _{b\to \frac{\pi }{2}-0}\ \Big(-\frac{5}{4}\cdot \sqrt[5]{\bf (1-sin^2x)^4}\, \Big|_0^{b}\Big)=\\\\\\=-\frac{5}{4}\cdot \lim\limits _{b\to \frac{\pi }{2}-0}\Big(\underbrace{\sqrt[5]{\bf (1-sin^2b)^4}}_{0}}-\underbrace{\sqrt[5]{\bf (1-sin^20)^4}}_{1}\Big)=-\frac{5}{4}\cdot (0-1)=\frac{5}{4}$

Несобственный интеграл сходится .

Приложения:

antonovm: Здравствуйте , а второй интеграл ведь также несобственный , знаменатель подынтегральной функции в точке pi/2 равен 0 и поэтому считать его ( по определению ) нужно через предел , ответ не изменится , но ...

Xonda7777: Огромное вам спасибо за решение

NNNLLL54: Согласна, исправила .

Похожие вопросы

История

1 год назад

Допоможіть Використовуючи наведені дані, вкажіть подію і або установіть причинно-наслідковий зв’язок. Причина, подія, наслідок. 988р. Русь Україна 1051р Іларіон 1016 р Руська правда

Геометрия

1 год назад

помогите пожалуйста даю 50 60 балов

Алгебра

1 год назад

278 Расположите в порядке убывания числа 1) 1,371....; 2) 2,065; 3) 2,056.....; 4) 1,(37); 5) -0,078.... пж помагите