При каком наибольшем значении b функция f (x) = x^3 + bx^2 + 3bx-1
возрастает на всей числовой прямой?

функция врзрастает, когда её производная положительна

f ¹(x) = 3x^2+2bx+3b больше 0

для этого дискриминант квадратного трёхчлена должен быть равен =0

(2b)^2 - 4*3*3b = 4b(b-9)=0   b=0, b=9

наибольшее значение b=9

Ответ: b=9