Когда Бытай захватил некоторые крупные города Руси

Может Батый а не бытай?) если он то....

нашествие батыя на Северо-Восточную русь

Декабрь 1237-после 6 дней осады пала рязань,

--1238 год,Коломна ,Мосва,Владимир.

нашествие Батыя на Южную русь.

Весна,1239-Переяславаль,Чернигов.

Осень,1240-Киев,Установление ига над Русью 

Нашествие Батыя на Северо-Восточную Русь:
декабрь, 1237 год - после 6 дней осады пала Рязань;
1238 год - Коломна, Москва, Владимир;

Нашествие Батыя на Южную Русь:
весна, 1239 год - Переяславль, Чернигов;
осень, 1240 год - Киев. Установление ига над Русью